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Author Topic: Sapete calcolare i sottogruppi di un gruppo ciclico?  (Read 9262 times)
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unaviandante
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« on:Catalonia chiusi zoccoli 48 Brazil Sandali Josef Seibel Womens gli Wedge Leather con 18-06-2009, 21:55:37 »

Ciao,
avete provato a rispondere alla domanda 5?

Quali sono i sottogruppi di un gruppo ciclico di ordine n? Elencare i sottogruppi di Z36.

Esiste il seguente teorema da cui si deduce il concetto di sottogruppo:

Sia G un gruppo e sia H un sottoinsieme di G. Allora le seguenti affermazioni
sono equivalenti:
(i) H `e un sottogruppo di G.
(ii) H diverso da 0 e
- per ogni a, b appartenente H si ha ab appartiene ad  H,
- per ogni a appartenente ad  H si ha a−1 appartiene ad H.
(iii) H diverso da 0 ; e per ogni a, b appartenente ad  H si ha ab−1 appartiene ad  H.

Grazie
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Gianni Nigita
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« Reply #1 on: 19-06-2009, 22:02:01 »

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Ho dato la seguente risposta:

  • Dato un gruppo ciclico G, i suoi sottogruppi, secondo il Teorema di Lagrance, sono quei gruppi H sottoinsieme di G il cui ordine è dovisibile per "n", dove "n" è l'ordine di G.
  • Per quanto riguarda Z36 si ha che o(Z36)=36 per cui i sottogruppi di Z36 sono quei gruppi sottoinsieme di Z36 il cui ordine è divisibile per 36, e sono:

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unaviandante
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grazie
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dario11
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« Reply #3 on: 20-06-2009, 08:11:40 »
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Ciao ragazzi,

mi sembra di ricordare che in Zn lo zero, che e' il primo elemento del gruppo, non si considera, pertanto l'ordine del gruppo dell'esempio dovrebbe essere 35 e non 36; se fosse cosi' i sottogruppi sarebbero soltanto Z5 e Z7.

Siete d'accordo
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unaviandante
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« Reply #4 on: 20-06-2009, 11:00:16 »

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« Reply #5 on: 20-06-2009, 13:43:57 »

E' in Zn* che viene omesso lo zero ma il gruppo Zn ha in se 36 elementi :zip Sweater Carhartt Nero Quarter Knit xqU7RwfY

               Z36={0,1,...,35} per cui ha ordine 36.
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« Reply #6 on: 20-06-2009, 16:47:22 »

Ho dato la seguente risposta:

  • Dato un gruppo ciclico G, i suoi sottogruppi, secondo il Teorema di Lagrance, sono quei gruppi H sottoinsieme di G il cui ordine è dovisibile per "n", dove "n" è l'ordine di G.
Detto così è sbagliato: se H è un gruppo sottoinsieme di G, allora è già un suo sottogruppo; da come l'hai detto tu,sembra che tra i gruppi sottoinsiemi bisogni selezionare quelli che hanno ordine divisore di n.

Però,dato un gruppo ciclico Z_n,per ogni m che divide n, esiste un sottogruppo di Z_n formato dai multipli di n/m che è isomorfo a Z_n. Ad esempio: in Z_36, i multipli di 2 (m=2, m divide n=36) formano un sottogruppo isomorfo a Z_18. Quindi la parte di sotto è giusta.
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« Reply #7 on: 20-06-2009, 17:27:34 »

Detto così è sbagliato: se H è un gruppo sottoinsieme di G, allora è già un suo sottogruppo; da come l'hai detto tu,sembra che tra i gruppi sottoinsiemi bisogni selezionare quelli che hanno ordine divisore di n.
Hai ragione, anche se non si capisce, volevo dire che tutti i gruppi sottoinsieme di G hanno ordine che divide "n".
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unaviandante
« Reply #8 on: 20-06-2009, 17:59:18 »

  .... temo che il cervello mi stia per esplodere! 



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dario11
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« Reply #9 on: 20-06-2009, 22:10:19 »

Ciao a tutti,

non penso sia corretto... quello che ha scritto Blaisorblade si riferisce ai gruppi ciclici e non mi sembra che Z_36 sia ciclico, 36 non e' ne primo ne potenza di un primo dispari; inoltre, se come dite esistono sottogruppi di ordine 2, 3, 4, 6, 9, .... dovete trovare gruppi, anch'essi ciclici, i cui elementi sono elementi di Z_36 che hanno ordine 2, 3, 4, 6, 9, .... rispettivamente; li avete trovati ?

Lo zero infine deve sempre essere escluso, perche' Z_n per ogni n non e' un gruppo rispetto al prodotto perche' lo zero non ha inverso.

Forse la risposta giusta e' che i sottogruppi di Z_36 sono solo quelli banali, ma non sono sicuro.

Ancora ciao.

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Blaisorblade
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« Reply #10 on: 21-06-2009, 10:00:43 »

Rispondo a dario11 intanto, chiarendo un punto: evitiamo di confondere i gruppi rispetto alla moltiplicazione con quelli rispetto all'addizione.Supply Diamond Army sneaker Premier designer 9 5 skate Camo Company vulcanizzato 7HdqfH
Z_36 è un gruppo additivo di 36 elementi, da 0 a 35. Ricordiamo che rispetto alla somma, l'inverso si chiama opposto, per cui lo zero è invertibile - il suo opposto è -0 = 0.
Non confondiamo con Z*_36 (che potrebbe essere ciclico o meno, in questo momento non saprei dirlo).
Anche qualcun altro ha fatto confusioni simili, quando ha detto "ma Z_36 non ha 35 elementi?", per cui vi suggerisco: fateci attenzione!

Inoltre, rispetto alla somma, Z_36 è ciclico, con generatore [1] (metto le quadre attorno agli elementi del gruppo per distinguerli).Wedge Womens chiusi zoccoli Catalonia Josef 48 Leather Brazil con Sandali gli Seibel
Ogni gruppo di resti (cioè ogni Z_n) lo è, perché puoi ottenere tutti gli elementi sommando [1] più volte con sé stesso (vedi la parentesi di sotto).
Quindi Z_2, Z_3, Z_4... sono gli esempi di sottogruppi cercati. O meglio, bisogna vedere che sono sottogruppi; come dicevo sopra, i multipli di 36/2=18, cioè
  • e [18], formano un sottogruppo isomorfo a Z_2; nell'isomorfismo, allo
  • corrisponde lo
  • , al [18] l'[1].Quindi, più correttamente, {[0], [18]} è un sottogruppo di ordine 2 di Z_36.

==Parentesi sui gruppi additivi ciclici==
In un gruppo moltiplicativo, dovrebbe esistere almeno un elemento (il generatore g, ad es. [2]) tale da poter ottenere ogni elemento (ad es. [4]) come potenza di g (in questo caso, [4]=[2]*[2]=[2]^2, notare che l'esponente è un naturale, non un elemento del gruppo! Un gruppo può non esser fatto di numeri). (Non ho controllato se [2] è un generatore qui, non ne ho idea).
In un gruppo additivo, vista la diversa notazione, l'analogo esempio sarebbe che ad es., per il [3], [3] = [1] +  [1] + [1] = [1] * 3 (notare che qui è il moltiplicatore a non essere per forza del gruppo). E qui, lo puoi fare per ogni elemento del gruppo ([35] = [1] * 35 = [1] sommato a sé stesso 35 volte, solo che qui mi secco a scriverlo per esteso ;-)).
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